Beispiel Saitenschwingungsgleichung

Saitenschwingungsgleichung wird die lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung vom hyperbolischen Typ

genannt, mit deren Hilfe die Schwingungen einer gespannten Saite beschrieben werden. Die Aufgabe besteht darin, diese Gleichung unter den Anfangs- und Randbedingungen

zu lösen. Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung verwendet.
Mit einem Separationsansatz der Form

u =X(x)T(t) (9.99c)

liefert Einsetzen in die gegebene Differentialgleichung (9.99a) die Gleichung

Die Variablen sind getrennt, denn da die linke Seite nicht von x und die rechte nicht von t abhängt, ist jede Seite für sich eine konstante Größe. Die Konstante wird negativ gewählt und gleich gesetzt, da sich mit nichtnegativen Werten nur die triviale Lösung u(x,t) =0 ergibt. Man erhält die zwei linearen Differentialgleichungen

Aus den Randbedingungen folgt .
Man sieht, daß X(x) eine Eigenfunktion des STURM-LIOUVILLEschen Randwertproblems ist und der zugehörige Eigenwert. Integration der Differentialgleichung (9.99e) für X und Berücksichtigung der Randbedingungen ergibt

Integration der Gleichung (9.99f) liefert für jeden Eigenwert jeweils eine partikuläre Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung (9.99a):

Durch die Forderungen, daß für t =0

wird und

ergibt sich mit Hilfe einer FOURIER-Reihenentwicklung nach Sinusfunktionen