Beispiel Stabschwingungsgleichung

Stabschwingungsgleichung wird die lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung vom hyperbolischen Typ genannt, mit deren Hilfe die longitudinalen Schwingungen eines Stabes beschrieben werden, dessen eines Ende frei ist und auf dessen zweites, eingespanntes Ende im Anfangszeitpunkt eine konstante Kraft p wirkt. Zu lösen ist die gleiche Differentialgleichung wie im Beispiel Saitenschwingungsgleichung, d.h.

mit den gleichen Anfangs-, aber nunmehr inhomogenen Randbedingungen:

Diese Bedingungen können durch die homogenen Bedingungen

ersetzt werden, indem für u die neue unbekannte Funktion

eingeführt wird. Allerdings wird dann die Differentialgleichung inhomogen:

Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung verwendet. Die Lösung wird in Form der Summe z =v+w gesucht. Dabei genügt v der homogenen Differentialgleichung sowie den Rand- und Anfangsbedingungen für z, d.h.

während w der inhomogenen Differentialgleichung genügt und die verschwindenden Anfangs- und Randbedingungen erfüllt. Daraus ergibt sich . Eingehen in die Differentialgleichung mit dem Produktansatz

v =X(x)T(t) (9.100i)

ergibt wie in Beispiel Saitenschwingungsgleichung für die separierten Variablen:

Integration der Differentialgleichung für X und Einsetzen der Randbedingungen X'(0) =X'(l) =0 liefert die Eigenfunktionen

sowie die dazugehörigen Eigenwerte

Durch das gleiche Vorgehen wie in Beispiel Saitenschwingungsgleichung erhält man schließlich

wobei a_n und die Koeffizienten der FOURIER-Reihenentwicklung für die Funktionen und im Intervall (0,l) sind.