Inhomogene charakteristische Integralgleichung

Ist die allgemeine Lösung des inhomogenen HILBERTschen Problems, dann kann die Lösung der inhomogenen Integralgleichung nach (11.90a) bestimmt werden:

= (11.96a)

= (11.96b)

Die Anwendung der Formeln von PLEMELJ und SOCHOZKI (11.89c) auf R(z) ergibt

Einsetzen von (11.96c) in (11.96b) liefert schließlich unter Beachtung von (11.89b) und
g(x) =f(x)/(a(x)+b(x)) die Lösungsdarstellung:

+ (11.97)

Entsprechend (11.94c) müssen im Fall für die Existenz einer Lösung zusätzlich die folgenden Bedingungen erfüllt sein:

Beispiel

Gegeben ist die charakteristische Integralgleichung mit konstanten Koeffizienten a und b
.
Hier ist eine einfache, geschlossene Kurve, d.h. .
Aus (11.90b) folgt und . G ist eine Konstante, und folglich ist . Somit ist und
.


Da ist, besitzt das homogene HILBERTsche Randwertproblem nur als im Unendlichen verschwindende Lösung. Gemäß der Lösungsdarstellung (11.97) folgt