Halbordnung

Bereits am Beispiel des mit dem ersten Quadranten als Kegel geordneten Vektorraumes wird eine typische Erscheinung in geordneten Vektorräumen ersichtlich, auf die mit den Begriffen Halbordnung  oder teilweise  bereits hingewiesen wurde, nämlich, daß nicht beliebige zwei Vektoren vergleichbar sein müssen. Die aus den Vektoren x=(1,-1) und y=(0,2) gebildeten Differenzen, also die Vektoren x-y=(1,-3) und , liegen nicht in , so daß weder noch gilt. Die durch einen Kegel in einem Vektorraum eingeführte Ordnung ist also lediglich eine teilweise oder partielle. Es läßt sich zeigen, daß die Relation die folgenden Eigenschaften besitzt:

Man nennt diese Gleichungen Axiome des geordneten Vektorraumes. Umgekehrt, ist ein Vektorraum mit einer Ordnungsrelation versehen, d.h. für gewisse Paare seiner Elemente ist eine binäre Operation erklärt, die den Axiomen bis genügt, dann setzt man

und kann zeigen, daß ein Kegel ist. Die jetzt durch in einführbare Ordnung ist identisch mit der vorhandenen Ordnung ; folglich sind die beiden aufgezeigten Möglichkeiten der Einführung einer Ordnung in einem Vektorraum äquivalent.
Ein Kegel heißt erzeugend, wenn jedes Element als x = u-v mit dargestellt werden kann. Man schreibt dafür auch -.

Beispiel A

Die Ordnung im Raum wird durch den Kegel

(s. Beispiel C) eingeführt. In den Folgenräumen, betrachtet man die natürliche koordinatenweise Ordnung. Sie ergibt sich mit Hilfe des Kegels, den man in einem solchen Raum als Durchschnitt von K (s. (12.31)) mit dem jeweiligen Raum erhält. Die positiven Elemente in diesen geordneten Vektorräumen sind dann jeweils die Folgen mit nichtnegativen Gliedern. Selbstverständlich können auch andere Kegel und damit auch von der natürlichen Halbordnung verschiedene Ordnungen in diesen Räumen betrachtet werden (s. [12.20], [12.22]).

Beispiel B

In den reellen Funktionenräumen und erklärt man für zwei Funktionen x und y durch bzw. die natürliche Ordnung, in der gerade für eine auf T überall nichtnegative Funktion x steht. Die entsprechenden Kegel bezeichnet man üblicherweise wieder mit usw. Es ist also beispielsweise .