Hermitesche Differentialgleichung

In der Literatur sind zwei Definitionsgleichungen der HERMITEschen Differentialgleichung gebräuchlich:

Definitionsgleichung zu Variante 1:

Definitionsgleichung zu Variante 2:

Partikuläre Lösungen sind die HERMITEschen Polynome, die entsprechend in zwei Varianten auftreten, als He_n(x) zu Definitionsgleichung 1 und als H_n(x) zu Definitionsgleichung 2.

HERMITEschen Polynome zu Definitionsgleichung 1:

He_n(x) =

= (9.72c)

Für gelten die folgenden Rekursionsformeln:

Die Orthogonalitätsrelation lautet:

Hermitesche Polynome zu Definitionsgleichung 2:

Bezüglich der ersten Polynome s. Physikalische Lösungen. Der Zusammenhang mit den HERMITEschen Polynomen zur 1. Definitionsgleichung lautet:

Zur Orthogonalität s. auch Orthogonale Systeme.