Definition und Existenz der Fourier-Transformation

1. Definition der Fourier-Transformation:

Die FOURIER-Transformation ist eine Integraltransformation der Form (15.1a), die aus dem FOURIER-Integral (15.64b) dadurch entsteht, daß man

substituiert. Damit erhält man den folgenden Zusammenhang zwischen der reellen Originalfunktion f(t) und der im allgemeinen komplexen Bildfunktion :

In der Kurzschreibweise verwendet man das Zeichen :

2. Fourier-Transformierbarkeit einer Funktion:

Die Originalfunktion f(t) heißt FOURIER-transformierbar, wenn das Integral (15.70), also ein uneigentliches Integral mit dem Parameter existiert. Wenn das FOURIER-Integral nicht als gewöhnliches uneigentliches Integral existiert, ist es als CAUCHYscher Hauptwert zu verstehen. Die Bildfunktion nennt man auch FOURIER-Transformierte; sie ist beschränkt, stetig und strebt für gegen Null:

Existenz und Beschränktheit von folgen direkt aus der offensichtlich gültigen Ungleichung

Für die Stetigkeit von und die Eigenschaft für ist die Existenz der FOURIER-Transformierten eine hinreichende Bedingung. Diese Aussage wird häufig in folgender Form benutzt: Wenn die Funktion f(t) in absolut integrierbar ist, dann ist ihre FOURIER-Transformierte eine stetige Funktion von , und es gilt (15.73).

3. Nicht Fourier-transformierbare Funktionen:

Folgende Funktionen sind nicht FOURIER-transformierbar: konstante Funktionen, beliebige periodische Funktionen (z.B. ), Potenzfunktionen, Polynome, Exponentialfunktionen (z.B. , Hyperbelfunktionen).