Zusammenhang mit der Laplace-Transformation

Beschreibt man eine diskrete Funktion f(t) als Treppenfunktion, dann gilt:

Auf diese stückweise konstante Funktion läßt sich die LAPLACE-Transformation anwenden, und man erhält für T=1:

Die unendliche Reihe in (15.128) wird auch als diskrete LAPLACE-Transformation bezeichnet und mit dem Symbol gekennzeichnet:

Setzt man in (15.129) , dann stellt eine Reihe nach absteigenden Potenzen von z dar, eine sogenannte LAURENT-Reihe. Mit der Substitution , die zu dem Namen Z-Transformation geführt hat, erhält man schließlich aus (15.128) den folgenden Zusammenhang zwischen LAPLACE- und Z-Transformation im Falle von Treppenfunktionen:

bzw.

Auf diese Weise lassen sich Korrespondenzen der Z-Transformation (Tabelle Z-Transformationen) in Korrespondenzen der LAPLACE-Transformation (s. Tabelle LAPLACE-Transformation) für Treppenfunktionen umrechnen und umgekehrt.