Chi-Quadrat-Anpassungstest

Es ist zu prüfen, ob eine Zufallsgröße X einer Normalverteilung genügt. Daher wird der Wertebereich von X in k Klassen eingeteilt und die obere Grenze der j-ten Klasse mit bezeichnet. Die theoretische Wahrscheinlichkeit, daß X in die j-te Klasse fällt, sei p_j, d.h., es gilt

wobei F(X) die Verteilungsfunktion von X ist ( ist die untere Grenze der 1. Klasse mit ). Da X normalverteilt sein soll, muß

sein. Mit ist die Verteilungsfunktion der normierten GAUSSschen Normalverteilung bezeichnet. Die Parameter und der Grundgesamtheit sind in der Regel nicht bekannt. Deshalb werden und s² als Näherungswerte einer Stichprobe verwendet.

Wurde der Grundgesamtheit eine Stichprobe () vom Umfang n entnommen und deren Häufigkeit h_j bezüglich der oben festgelegten Klasseneinteilung ermittelt, dann genügt die Zufallsgröße

näherungsweise einer -Verteilung mit m=k-1 Freiheitsgraden. Dazu ist notwendig, daß gilt, was durch Zusammenfassen einiger Klassen erreicht werden kann.

Die Prüfung auf Normalverteilung (man spricht auch von -Anpassungstest) besteht darin, daß man nach Vorgabe einer statistischen Sicherheit oder Irrtumswahrscheinlichkeit das Quantil der Tabelle Chi-Quadrat-Verteilung entnimmt, für das gilt. Ergibt sich für den nach (16.135c) ermittelten speziellen Wert

dann besteht kein Widerspruch zu der Annahme, daß die Stichprobe aus einer Grundgesamtheit stammt, die normalverteilt ist.

Beispiel

Dem folgenden -Test liegen die Zahlenwerte einer Stichprobe mit einem Umfang von n =125 Messungen zu Grunde aus der der Mittelwert und die Streuung s² =36,70 ermittelt worden sind. Diese Werte werden als Schätzwerte für die unbekannten Parameter und der Grundgesamtheit verwendet. Damit kann die Testgröße gemäß (16.135c) unter Beachtung von (16.135a) und (16.135b), wie in der folgenden, Tabelle dargestellt, ermittelt werden.

Tabelle Beispiel zum -Test

	hj			pj	npj
						0,00005
	15	-0,72	0,2358	0,1320	16,5000	0,1635
	22		0,4325	0,1967	24,5875	0,2723
	30	0,37	0,6443	0,2118	26,4750	0,4693
	27		0,8212	0,1769	22,1125	1,0803
	9		0,9279	0,1067	13,3375	1,4106
						0,0526

Aus der letzten Spalte folgt . Wegen der Forderung reduziert sich die Anzahl der Klassen von k =11 auf . Da zur Berechnung der theoretischen Häufigkeit np_j die beiden Schätzwerte und s² der Stichprobe an Stelle von und der Grundgesamtheit verwendet werden, verringert sich die Anzahl der Freiheitsgrade der betreffenden -Verteilung um weitere zwei. Damit muß als kritischer Wert das Quantil verwendet werden. Für erhält man aus der Tabelle -Verteilung , so daß wegen kein Widerspruch zu der Annahme besteht, daß die Grundgesamtheit normalverteilt ist.