Rekonstruktionssatz von Takens, Satz von Kupka und Smale

Ist und eine beliebige natürliche Zahl, so ist die Gesamtheit aller Paare , für die die Rekonstruktionsabbildung (in vorauseilenden Koordinaten)

eine Einbettung ist, offen und dicht in . Die Eigenschaft von , eine Einbettung zu sein, ist also für generisch. Eine solche Zahl m wird auch Einbettungsdimension genannt. (Satz von TAKENS s. [17.24]). Der Satz läßt sich auf Differentialgleichungen aus anwenden: Ist eine beliebige natürliche Zahl, so ist die Menge aller Paare , für die die Rekonstruktionsabbildung

(mit als dem zu f gehörigen Semifluß) eine Einbettung ist, offen und dicht im Raum . Die Eigenschaft von , eine Einbettung zu sein, ist also generisch.

Beispiel

Auf () (, hinreichend klein) sei die Differentialgleichung gegeben. Da f stetig differenzierbar ist und f(-1) =1 >0 sowie f(1) = -1 gilt, ist mit U =(-1,1). Dies folgt auch sofort aus der expliziten Lösung . Laut Satz von TAKENS ist für die Rekonstruktionsabbildung mit einer stetig differenzierbaren Meßfunktion generisch in eine Einbettung. Beispielsweise leistet h₁(x) =x dies, da offenbar eine Einbettung in den ist. Dagegen ergibt die Meßfunktion h₂(x) =x² die Rekonstruktionsabbildung , die nicht injektiv und damit auch keine Einbettung ist.

Grundlage für den Rekonstruktionssatz von TAKENS ist der Satz von KUPKA und SMALE: Die Gesamtheit aller Diffeomorphismen , für die jederPeriodenpunkt hyperbolisch ist und W^s(p) transversal zu W^u(q) für beliebige Periodenpunkte ist, bildet eine Menge der zweiten BAIREschen Kategorie, d.h., solche Diffeomorphismen sind typisch in . Die Forderung ergibt sich daraus, daß für typische nahe der Periodenpunkte eine Immersion ist, die anschließend zu einer Einbettung auf ganz U fortgesetzt werden kann.