Prävalenz als metrische Variante der Generizität

Prävalenz oder metrische Generizität ist eine Ausweitung der für endlich-dimensionale Vektorräume sinnvollen Eigenschaft fast überall im Sinne des LEBESGUE-Maßes (s. Lebesgue Maß) auf unendlich-dimensionale Räume. Sie unterscheidet sich damit von der auf Mengen der zweiten BAIREschen Kategorie zurückgehenden topologischen Form der Generizität (s. Generische Eigenschaften). Eine BOREL-Menge S des BANACH-Raumes B heißt prävalent (s. [17.23]), wenn ein finites BOREL-Maß mit kompaktem Träger K (s. Invariantes Maß) existiert, so daß für jedes ist.

Beispiel A

Jede BOREL-Menge eines endlich-dimensionalen Vektorraumes, deren Komplement das Maß Null hat, ist prävalent.

Beispiel B

Die Vereinigung und der Durchschnitt einer endlichen Anzahl prävalenter Mengen ist prävalent.

Beispiel C

Eine prävalente Teilmenge in offen und zusammenhängend, ist dicht im BANACH-Raum aller der skalarwertigen Funktionen aus , deren partielle Ableitungen der Ordnung stetig in sind.