Kaskade von Periodenverdopplungen

Analog zur logistischen Gleichung (17.78) kann es auch in zeitkontinuierlichen Systemen zu einer Kaskade von Periodenverdopplungen nach folgendem Szenario kommen. Das System (17.61) besitzt für den stabilen periodischen Orbit . Bei findet nahe eine Periodenverdopplung statt, bei der der periodische Orbit für seine Stabilität verliert. Von ihm spaltet sich ein periodischer Orbit mit etwa doppelter Periode ab. Bei findet erneut eine Periodenverdopplung statt, wobei seine Stabilität verliert und ein stabiler Orbit mit nahezu doppelter Periode entsteht. Für wichtige Klassen von Systemen(17.61) setzt sich dieser Prozeß der Periodenverdopplung fort, so daß eine Folge von Parameterwerten entsteht. Numerische Berechnungen für bestimmte Differentialgleichungen (17.61) (z.B. bei hydrodynamischen Differentialgleichungen wie dem LORENZ-System) belegen die Existenz des Grenzwertes , wobei die FEIGENBAUM-Konstante ist. Bei verliert der Zyklus mit unendlicher Periode seine Stabilität, und es kommt zur Bildung eines seltsamen Attraktors.

Der geometrische Hintergrund der Entstehung dieses seltsamen Attraktors in (17.61) durch eine Kaskade von Periodenverdopplungen ist in der folgenden Abbildung zu sehen.

Der POINCARÉ-Schnitt zeigt dabei näherungsweise eine Bäcker-Abbildung, die auf die Entstehung einer CANTOR-Mengen-ähnliche Struktur hindeutet.