Periodenverdopplung oder Flip-Bifurkation

Gegeben sei das System (17.61) mit und . Betrachtet wird ein periodischer Orbit von (17.61) bei mit den Multiplikatoren und . Das Bifurkationsverhalten der POINCAR´E-Abbildung nahe 0 wird durch die eindimensionale Abbildung (17.74) mit A^c = -1 beschrieben, von der die Normalform

angenommen werden soll. Die Ruhelage x = 0 von (17.76) ist für kleine stabil und für instabil. Die zweite iterierte Abbildung hat bei außer x =0 noch die beiden stabilen Fixpunkte , die keine Fixpunkte von sind. Demzufolge müssen sie Punkte der Periode 2 von (17.76) sein.

Allgemein formuliert, kommt es in einer C⁴-Abbildung (17.74) zur Entstehung eines zweiperiodischen Orbits bei , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind (s. [17.2]):

Da wegen auch ist, sind damit für die Abbildung F² die Bedingungen für eine Gabel-Bifurkation formuliert.

Die Eigenschaften der Abbildung (17.76) implizieren für die Differentialgleichung (17.61), daß sich bei von ein stabiler periodischer Orbit mit etwa doppelter Periode abspaltet (Periodenverdopplung), wobei seine Stabilität verliert (s. Abbildung).

Beispiel

Die logistische Abbildung ist für durch , d.h. durch das zeitdiskrete dynamische System

gegeben. Die Abbildung besitzt nach [17.9] folgendes Bifurkationsverhalten: Für hat (17.78) die Ruhelage 0 mit dem Einzugsgebiet . Für besitzt (17.78) die instabile Ruhelage 0 und die stabile Ruhelage , wobei letztere das Einzugsgebiet (0,1) besitzt. Bei wird die Ruhelage instabil und zerfällt in einen stabilen 2periodischen Orbit. Beim Wert wird auch der 2periodische Orbit instabil und durch einen stabilen 2²-periodischen Orbit ersetzt. Die Periodenverdopplung setzt sich fort, und es entstehen stabile 2^q-periodische Orbits bei . Numerische Untersuchungen belegen für die Konvergenz .

Bei liegt ein Attraktor F vor, der FEIGENBAUM-Attraktor, der die Struktur einer CANTOR-ähnlichen Menge hat. In beliebiger Nähe des Attraktors liegen Punkte, die nicht in den Attraktor, sondern auf instabile periodische Orbits iteriert werden. Der Attraktor F hat dichte Orbits und eine HAUSDORFF-Dimension . Andererseits liegt keine sensitive Abhängigkeit von den Anfangszuständen vor. Im Bereich existiert eine Parametermenge A mit positivem LEBESGUE-Maß, so daß für das System (17.78) einen chaotischen Attraktor positiven Maßes besitzt. Die Menge A ist von Fenstern durchsetzt, in denen Periodenverdopplung auftritt.

Das Bifurkationsverhalten der logistischen Abbildung ist auch in einer Klasse von unimodalen Abbildungen, d.h. von Abbildungen des Intervalls I in sich, die in I ein einfaches Maximum besitzen, zu finden. Obwohl die Parameterwerte , bei denen Periodenverdopplung auftritt, für verschiedene solche unimodale Abbildungen sich voneinander unterscheiden, ist die Konvergenzrate, mit der diese Parameter gegen den jeweiligen Wert streben, gleich: , wobei die FEIGENBAUM-Konstante ist (C hängt von der konkreten Abbildung ab). Gleich sind auch die HAUSDORFF-Dimensionen der Attraktoren F bei