Satz von Smale

Die invarianten Mannigfaltigkeiten der POINCARÉ-Abbildung einer Differentialgleichung (17.61) im nahe dem periodischen Orbit seien wie in der folgenden Abbildung aus Abschnitt
Transversale homokline Punkte.

Die transversalen homoklinen Punkte P^j(x₀) korrespondieren mit einem bezüglich homoklinen Orbit von (17.61). Die Existenz eines solchen homoklinen Orbits in (17.61) führt zu einer sensitiven Abhängigkeit von den Anfangswerten. In Verbindung mit der betrachteten POINCAR´E-Abbildung lassen sich die auf SMALE zurückgehenden Hufeisen-Abbildungen konstruieren, die zu folgenden Aussagen führen:

Satz von Smale: In jeder Umgebung eines transversalen homoklinen Punktes der POINCAR´E-Abbildung (17.74) existiert ein periodischer Punkt dieser Abbildung. Darüber hinaus existiert in jeder Umgebung eines transversalen homoklinen Punktes eine für invariante Menge , die vom CANTOR-Typ ist. Die Einschränkung von P^m auf ist topologisch konjugiert zu einem BERNOULLI-Shift, d.h. zu einem mischenden System.

Die invariante Menge der Differentialgleichung (17.61) nahe des homoklinen Orbits sieht aus wie das Produkt einer CANTOR-Menge mit dem Einheitskreis. Ist diese invariante Menge anziehend, dann stellt sie für (17.61) einen seltsamen Attraktor dar.