Definition, auf dem Attraktor konzentrierte Maße

Zum dynamischen System auf sei die -Algebra der BOREL-Mengen auf M und ein Maß auf . Jede Abbildung wird als -meßbar vorausgesetzt. Das Maß heißt invariant unter , wenn für alle und t > 0 gilt. Ist das dynamische System invertierbar, so läßt sich die Eigenschaft eines Maßes, invariant unter dem dynamischen System zu sein, auch als ausdrücken. Das Maß heißt auf der BOREL-Menge konzentriert, wenn ist. Ist also ein Attraktor von und ein unter invariantes Maß, so ist dieses auf konzentriert, wenn für jede BOREL-Menge B mit ist.

Der Träger eines Maßes , bezeichnet mit supp , ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge von , auf der das Maß konzentriert ist.

Beispiel A

Betrachtet wird auf M =[0,1] die Modulo-Abbildung (auch Shift-Abbildung)

In diesem Fall ist mit
Anhand der Definition sieht man, daß das LEBESGUE-Maß invariant unter der Modulo-Abbildung ist. Schreibt man eine Zahl als Dualzahl , so kann man diese Darstellung mit identifizieren. Das Ergebnis der Operation läßt sich schreiben als mit a_i' = a_i+1, d.h., alle Ziffern a_k werden um eine Stelle nach links verschoben und die erste Ziffer fällt weg.

Beispiel B

Die Abbildung mit

heißt Zelt-Abbildung und hat ebenfalls das LEBESGUE-Maß als invariantes Maß. Der Homöomorphismus mit überführt die Abbildung aus (17.5) mit in (17.29). Damit besitzt (17.5) bei ebenfalls ein invariantes Maß, das absolut stetig ist. Für die Dichten von (17.29) und von (17.5) bei gilt dabei . Hieraus ergibt sich sofort .

Beispiel C

Ist x₀ ein stabiler Periodenpunkt der Periode T des invertierbaren zeitdiskreten dynamischen Systems , so ist ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß für . Dabei ist das in x₀ konzentrierte DIRAC-Maß.