Stabilität gegenüber Störung der Anfangswerte

Bei der praktischen Durchführung von Einschrittverfahren kommt zum globalen Diskretisierungsfehler O(h^p) noch ein Rundungsfehleranteil O(1/h) hinzu. Das hat zur Folge, daß mit einer nicht zu kleinen, endlichen Schrittweite h > 0 gerechnet werden muß. Dabei ist die Frage wichtig, wie sich die numerische Lösung y_i eines Einschrittverfahrens gegenüber Störungen des Anfangswertes verhält, und zwar auch für den Fall .

In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen heißt eine Anfangswertaufgabe (19.93) stabil bezüglich Störungen ihrer Anfangswerte, wenn gilt:

Dabei ist die Lösung von (19.93) mit der gegenüber y₀ gestörten Anfangsbedingung . Die Abschätzung (19.114) besagt, daß die Lösungsänderung betragsmäßig nicht größer ist als die Störung des Anfangswertes.

Im allgemeinen läßt sich (19.114) nur schwer überprüfen. Deshalb führt man die lineare Testaufgabe

ein, die stabil ist, und prüft ein Einschrittverfahren an dieser speziellen Anfangswertaufgabe. Man sagt: Ein konsistentes Einzelschrittverfahren heißt für die Schrittweite h > 0 absolut stabil bezüglich Störungen des Anfangswertes, wenn alle damit für das lineare Testproblem (19.115) berechneten Näherungen y_i der Abschätzung

genügen.

Beispiel

Für (19.115) ergibt das EULERsche Polygonzugverfahren (19.97) .
Man sieht, daß (19.116) für gilt, und erhält dadurch die Schrittweitenbeschränkung
.