Differenzenverfahren

Man unterteilt das Intervall [a,b] durch gleichabständige Stützstellen und ersetzt in der für die inneren Stützstellen angegebenen Differentialgleichung

die Werte der Ableitungen durch sogenannte finite Ausdrücke, z.B.:

Man erhält auf diese Weise n-1 lineare Gleichungen für die n-1 Näherungswerte im Inneren des Integrationsintervalls , wenn man und beachtet. Enthalten die Randbedingungen Ableitungen, dann werden diese ebenfalls durch finite Ausdrücke ersetzt.

Eigenwertprobleme bei Differentialgleichungen werden ganz analog behandelt. Die Anwendung des Differenzenverfahrens, beschrieben durch (19.119) und (19.120a,b), führt dann auf ein
Matrizeneigenwertproblem.

Beispiel

Die Lösung der homogenen Differentialgleichung mit den Randbedingungen y(0) = y(1) = 0 führt auf ein Eigenwertproblem. Das Differenzenverfahren überführt die Differentialgleichung in die Differenzengleichung . Wählt man drei innere Punkte, also , dann erhält man das Gleichungssystem

unter Beachtung von . Dieses homogene System ist nur bei verschwindender Koeffizientendeterminante nichttrivial lösbar. Aus dieser Bedingung erhält man die Eigenwerte und , von denen allerdings nur der kleinste dem ihm entsprechenden wahren Wert 9,87 nahekommt.

Hinweis: Die Genauigkeit des Differenzenverfahrens kann erhöht werden durch:

1. Verkleinerung der Schrittweite h,
2. Verwendung finiter Ausdrücke höherer Approximation (die Näherungen (19.120a,b) haben die Fehlerordnung O(h²)),
3. Anwendung des Mehrschrittverfahrens.

Ist eine nichtlineare Randwertaufgabe zu lösen, dann führt das Differenzenverfahren auf ein System nichtlinearer Gleichungen für die unbekannten Näherungswerte
(s. Abschnitt Nichtlineare Gleichungssysteme).