Mehrschrittverfahren

RUNGE-KUTTA-Verfahren (19.99) sind sogenannte Einschrittverfahren, da sie bei der Berechnung von y_i+1 nur auf das Ergebnis y_i des vorangegangenen Schrittes zurückgreifen. Allgemeine lineare Mehrschrittverfahren sind dagegen von der Form

mit geeignet gewählten Konstanten und . Die Vorschrift (19.101) wird als k-Schrittverfahren bezeichnet, falls ist. Es heißt explizit, falls ist, weil dann in den Werten f_i+j = f(x_i+j,y_i+j) der rechten Seite von (19.101) nur die bereits bekannten Näherungswerte auftreten. Ist , so heißt das Verfahren implizit, da dann der gesuchte neue Wert y_i+k auf der rechten Seite von (19.101) als Argument von f_i+k =f(x_i+k,y_i+k) auftritt.

Bei der Anwendung eines k-Schrittverfahrens ist die Kenntnis von k Startwerten notwendig. Diese verschafft man sich z.B. mit Hilfe eines Einschrittverfahrens.

Spezielle Mehrschrittverfahren zur Lösung der Anfangswertaufgabe (19.93) kann man dadurch gewinnen, daß man in (19.93) die Ableitung y'(x_i) durch Differenzenformeln ersetzt oder in (19.95) das Integral durch Quadraturformeln approximiert.
Beispiele für spezielle Mehrschrittverfahren sind:

1. Mittelpunktsregel:

Die Ableitung y'(x_i+1) in (19.93) wird durch die Sekantensteigung bezüglich der Stützstellen x_i und x_i+2 ersetzt. Man erhält:

2. Verfahren von Milne:

Das Integral in (19.95) wird durch die SIMPSON-Formel approximiert. Man erhält:

3. Verfahren von Adams-Bashforth:

Der Integrand in (19.95) wird durch das
Interpolationspolynom vonLAGRANGE bezüglich der k Stützstellen
ersetzt. Man integriert zwischen x_i+k-1 und x_i+k und erhält:

Das Verfahren (19.104) ist explizit bezüglich . Zur Berechnung des Koeffizienten s. [19.4].