Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung wird eine Gleichung der Form

genannt, in der die unbekannte Funktion und ihre Ableitung nur in der ersten Potenz, d.h. linear auftreten. Der integrierende Faktor ist hier

das allgemeine Integral ergibt sich gemäß

Wenn in dieser Formel das unbestimmte Integral überall durch das bestimmte Integral in den Grenzen x₀ und x ersetzt wird, dann gilt für die Lösung gemäß Hauptsatz der Integralrechnung y(x₀)=C. Ist y₁ irgendeine partikuläre Lösung der Differentialgleichung, dann ergibt sich die allgemeine Lösung nach der Formel

Sind zwei linear unabhängige partikuläre Lösungen y₁(x) und y₂(x) bekannt, dann erhält man die allgemeine Lösung ohne Integration gemäß

Beispiel

Es ist die Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung y₀ =0 für x₀ =0 zu integrieren. Man berechnet und erhält gemäß (9.11c) die Lösung