Physikalische Lösungen

Gesucht ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des betrachteten Teilchens in den verschiedenen Zuständen. Diese wird mit Hilfe einer physikalisch sinnvollen, d.h. normierbaren, für große Werte von y gegen Null gehenden Eigenfunktion und quadratisch integrierbaren Wellenfunktion beschrieben.
Die Exponentialfunktion im Ansatz (9.151a) sorgt dafür, daß die Lösung für gegen Null strebt, wenn die Funktion H(y) ein Polynom ist. Daher müssen die Koeffizienten a_j in (9.152a), beginnend von einem bestimmten n an, für alle j > n verschwinden: . Mit j = n lautet die Rekursionsformel (9.152c) jetzt

Für kann sie nur erfüllt werden, wenn

gesetzt wird. Somit verschwinden durch die angegebene Wahl von die Koeffizienten . Damit auch die Koeffizienten verschwinden, muß a_n-1 = 0 sein.
Für die spezielle Wahl erhält man die HERMITEschen Polynome der 2. Definitionsgleichung. Die ersten sechs lauten:

n =

n = (9.153c)

n =

Die Lösung für die Schwingungsquantenzahl n ergibt sich zu

wobei N_n der Normierungsfaktor ist. Man erhält ihn aus der Normierungsbedingung zu

Für die Eigenwerte der Schwingungsenergie ergibt sich als Quantisierungsbedingung aus der Bedingung für den Abbruch der Reihe mit (9.150c)

Das Spektrum der Energiezustände ist äquidistant. Der Summand +1/2 in der Klammer bedeutet, daß der quantenmechanische Oszillator im Unterschied zum klassischen auch im tiefsten energetischen Zustand mit n = 0 Energie besitzt, dieNullpunktsschwingungsenergie.
Die folgende Abbildung zeigt eine graphische Darstellung des äquidistanten Spektrums der Energiezustände, die zugehörigen Wellenfunktionen bis sowie die Funktion der potentiellen Energie (9.149c).

Die Punkte auf der Parabel der potentiellen Energie bezeichnen die Umkehrpunkte des klassischen Oszillators, die als Amplitude aus der Energie berechnet werden. Die quantenmechanische Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im Intervall (x, x + dx) zu finden, ist durch gegeben. Sie ist auch außerhalb dieser Punkte von Null verschieden. So liefert z.B. n=1, also , gemäß , Maxima der Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei

Für den entsprechenden klassischen Oszillator ergibt sich

Die quantenmechanische Verteilungsdichte nähert sich für große Werte der Quantenzahl n in ihrem Mittelwert der klassischen.