Gleichung und Lösungen

Die PDNLS-Gleichung (s. [9.61])

hat zwei Parameter (h Antriebsstärke, Reibungskoeffizient), von deren Werten die Stabiliät der Lösungen sehr empfindlich abhängt.
Die folgende Abbildung zeigt ein Stabilitätsdiagramm der Lösungen der PDNLS-Gleichung.

Gebiet I (s. Abbildung):

Im Gebiet I oberhalb der Linie
ist das Soliton

eine stationäre Lösung. Dieses PDLNS-Soliton wird durch parametrisches Pumpen stabilisiert.

Gebiet II (s. Abbildung):

Im Gebiet II ist das PDLNS-Soliton instabil: Amplitude A und Phase ändern sich periodisch. Diese Instabilität führt zu zwei Szenarien des Überganges zum Chaos:

• Ein Szenarium führt über Quasiperiodizität zum raum-zeitlichen Chaos (Gebiet III),
• ein zweites, das FEIGENBAUM-Szenarium, führt zu Gebiet IV.
• Gebiet V (s. Abbildung). Hier gehen alle Lösungen u(x,t) für asymptotisch in den Wert 0 über.
• In der -h-Ebene gibt es bei einen trikritischen Punkt, an dem die zwei Szenarien und das Gebiet mit zusammentreffen.
• Die Grenze zwischen den Gebieten III und V für nahe erinnert an die ARNOLD-Zungen.