Erhaltungsgrößen

Die oben genannten Bewegungsgleichungen haben die bemerkenswerte Eigenschaft, dass neben der HAMILTON-Funktion eine unendliche Zahl weiterer Erhaltungsgrößen existiert. Die drei einfachsten Erhaltungsgrößen der KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung lauten

wobei das letzte Integral der Hamilton-Funktion entspricht.

Die Existenz unendlich vieler Erhaltungsgrößen (Integrabilität) ist eine sehr untypische Eigenschaft von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen. Hinzufügen eines weiteren Terms in die Bewegungsgleichung wird im Allgemeinen die meisten Erhaltungsgrößen zerstören, selbst wenn die veränderte Gleichung ebenfalls eine HAMILTONsche Struktur besitzt. Eine solche Veränderung der Bewegungsgleichungen kann dazu führen, daß Solitonen bei Kollisionen ihre Form und Größe ändern.

Die inverse Streumethode kann als kanonische Transformation der Orts- und Impulskoordinaten p_i(P,Q), q_i(P,Q) interpretiert werden [9.53], [9.59]. Die einzelnen Orts- und Impulskoordinaten sind Funktionen der Streudaten. Die neue Hamilton-Funktion hängt nur von den Impulskoordinaten, nicht aber von den Impulskoordinaten ab. Nach den Bewegungsgleichungen (9.218) und (9.219) ist p_i dann zeitlich konstant und q_i wächst linear in der Zeit an. Die Impulse sind also wieder Erhaltungsgrößen.