Besselsche Differentialgleichung

Definierende Gleichung:

Die Definierende Gleichung ist in diesem Falle

Daraus folgt . Einsetzen von

in diese Gleichung liefert für den zu Null gesetzten Koeffizienten von x^n+k die Bestimmungsgleichung

Für k = 1 erhält man . Für die Werte von k ergibt sich

Bessel- oder Zylinderfunktionen:

Die für ( s. Gammafunktion) entstandene Reihe ist eine partikuläre Lösung der BESSELschen Differentialgleichung (9.52a) für ganzzahlige . Sie definiert die BESSEL- oder Zylinderfunktion n-ter Ordnung 1. Gattung

J_n(x) =

= (9.53a)

Die Kurvenbilder der Funktionen J₀ und J₁ zeigt die folgende Abbildung.

Die allgemeine Lösung der BESSELschen Differentialgleichung für nicht ganzzahlige n hat die Form

wobei J_-n(x) eine Reihe darstellt, die aus der Reihe für J_n(x) durch Ersetzen von n durch -n folgt. Für ganzzahliges n gilt . In der allgemeinen Lösung ist in diesem Falle J_-n(x) durch die BESSELsche Funktion 2. Gattung

auch WEBERsche Funktion genannt, zu ersetzen. Zur Reihenentwicklung von Y_n(x) s. z.B. [9.26]. Die Kurvenbilder der Funktionen Y₀ und Y₁ zeigt die folgende Abbildung.

Bessel-Funktionen mit imaginären Variablen:

In manchen Anwendungen treten BESSEL-Funktionen mit einer rein imaginären Variablen auf. Dabei werden gewöhnlich die Produkte betrachtet, die mit I_n(x) bezeichnet werden:

Hierbei handelt es sich um Lösungen der Differentialgleichung

Eine zweite Lösung dieser Differentialgleichung ist die MACDONALDsche Funktion

Wenn n gegen eine ganze Zahl konvergiert, strebt dieser Ausdruck einem Grenzwert zu.

Die Funktionen I_n(x) und K_n(x) werden auch modifizierte BESSEL-Funktionen genannt.

Die Kurvenbilder der Funktionen I₀ und I₁ zeigt die folgende linke Abbildung, die der Funktionen K₀ und K₁ die rechte Abbildung.

Werte der Funktionen enthalten die Tabellen BESSELsche Funktionen (Zylinderfunktionen).

Formeln für Bessel-Funktionen vom Typ J_n(x):

Die gleichen Formeln gelten auch für die WEBER-Funktionen Y_n(x)

Für ganzzahliges n gilt

oder, in komplexer Form,

Die J_n+1/2(x) können durch elementare Funktionen ausgedrückt werden. Insbesondere gilt

Durch sukzessive Anwendung der Rekursionsformeln (9.55a) bis (9.55f) können die Ausdrücke für J_n+1/2(x) für beliebige ganzzahlige n aufgeschrieben werden. Für große Werte von x ergeben sich die folgenden asymptotischen Formeln:

Der Ausdruck (s. LANDAU-Symbole) bedeutet eine infinitesimale Größe der gleichen Ordnung wie .
Weitere Angaben über BESSEL-Funktionen s. [21.1].

Wichtige Formeln für die sphärischen Bessel-Funktionen:

Sphärische BESSEL-Funktionen erster und zweiter Gattung, j_l(z) und n_l(z), ergeben sich aus den BESSEL-Funktionen erster und zweiter Gattung, J_n(z) (9.53a)und Y_n(z) (9.53c), für halbzahligen Index gemäß und mit . Sie sind reguläre bzw. singuläre Lösungen der radialen SCHR¨ODINGER-Gleichung (9.144b) für V =0 mit , z =kr und s_l(z) =R_l(r):

Sie treten u.a. in der quantenmechanischen Streutheorie auf, wo die n_l(z) auch sphärische VON-NEUMANN-Funktionen genannt werden. Mit den RAYLEIGH-Formeln

ergibt sich

Im folgenden werden mit komplexe Kugelfunktionen verwendet (s. (9.146d). In dem Sammelindex L =(l,m) kann bei gegebener Bahndrehimpulsquantenzahl die magnetische Quantenzahl die 2l +1 Werte annehmen. Mit den Abkürzungen

lauten dann die KASTERINschen Formeln

wobei der Nabla-Operator ist. Die Entwicklung einer ebenen Welle nach Kugel- bzw. sphärischen BESSEL-Funktionen lautet

Es gelten die Additionstheoreme

= (9.65)

mit den CLEBSCH-GORDAN-Koeffizienten

Weitere Einzelheiten s. [21.1], [9.29], [9.30], [9.31]