Integration der homogenen partiellen linearen Differentialgleichung

Die Integration der homogenen partiellen linearen Differentialgleichung ist der Integration des sogenannten charakteristischen Systems

äquivalent. Zur Lösung dieses Systems können zwei Wege eingeschlagen werden:

1. Man kann als unabhängige Variable ein beliebiges x_k auswählen, für das gilt, so daß das System in die Form

   übergeht.

2. Bequemer ist es, unter Beibehaltung der Symmetrie eine neue unabhängige Variable t einzuführen, indem

   gesetzt wird.

Jedes erste Integral des Systems (9.78a) ist eine Lösung der homogenen linearen partiellen Differentialgleichung (9.77b) und umgekehrt, jede Lösung von (9.77b) ist ein erstes Integral von (9.77a) (s. Allgemeine Lösung). Wenn hierbei n-1 erste Integrale

unabhängig sind (s. Fundamentalsystem von Lösungen), dann gilt

Dabei ist eine beliebige Funktion der n-1 Argumente und eine allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung von (9.77a).