Numerische Lösung von Variationsaufgaben

Zur praktischen Lösung von Variationsproblemen werden im wesentlichen zwei Lösungswege verwendet.

1. Lösung der Eulerschen Differentialgleichung und Anpassung der gefundenen Lösung an die Randbedingungen. Allerdings wird die exakte Lösung der Eulerschen Differentialgleichung nur in den einfachsten Fällen möglich sein, so daß man numerische Methoden zur Lösung von Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen bzw. partiellen Differentialgleichungen einsetzen muß (s. auch Kapitel Computeralgebrasysteme).
2. Direkte Methoden gehen unmittelbar von der Variationsaufgabe aus und verwenden nicht die EULERsche Differentialgleichung. Das höchstwahrscheinlich älteste und bekannteste Verfahren dieser Art stellt das RITZ-Verfahren dar. Es gehört zu den sogenannten Ansatzverfahren, die zur genäherten Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen verwendet werden bzw. Ansatzverfahren zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen, und soll an dem folgenden einfachen Beispiel demonstriert werden.

Beispiel

Das isoperimetrische Problem

bei

ist numerisch zu lösen. Das zugehörige Variationsproblem ohne Integralnebenbedingung lautet gemäß Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen

Als Ansatz für die Näherungslösung wird

y(x)=a₁x(x-1)+a₂x²(x-1) (10.55)

gewählt. Die beiden Ansatzfunktionen x(x-1) und x²(x-1) sind linear unabhängig und erfüllen beide die Randbedingungen. Mit (10.55) geht (10.54) in

über, und die notwendigen Bedingungen ergeben das homogene lineare Gleichungssystem

Dieses System hat nichttriviale Lösungen, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet. Daraus folgt:

Für erhält man aus (10.57) beliebig, so daß die zu gehörende, normierte Lösung lautet:

Zum Vergleich kann man die zur Variationsaufgabe (10.57) gehörende EULERsche Differentialgleichung aufstellen. Man erhält die Randwertaufgabe

mit den Eigenwerten und den Eigenlösungen . Für den Fall , d.h. , ergibt sich die normierte Eigenlösung

deren Verlauf sich nur unwesentlich von dem der Näherungslösung (10.59) unterscheidet.

Hinweis: Beim heutigen Stand der Computer- und Software-Entwicklung sollte man zur numerischen Lösung von Variationsproblemen vor allem die Methode der finiten Elemente (FEM) einsetzen.
Die Grundzüge der Methode der finiten Elemente werden bei der numerischen Behandlung von Differentialgleichungen beschrieben. Dort wird der Zusammenhang zwischen Differential- und Variationsgleichungen, der z.B. durch EULERsche Differentialgleichungen oder Bilinearformen gemäß (19.145a,b) vermittelt wird, ausgenutzt.
Auch die Gradientenverfahren, wie sie zur numerischen Behandlung von nichtlinearen Optimierungsaufgaben verwendet werden, können zur numerischen Lösung von Variationsaufgaben eingesetzt werden.