Abschätzung der Korrelationsdimension

Gegeben sei ein dynamisches System mit , generiert durch bzw. . In U habe einen Attraktor mit invariantem Wahrscheinlichkeitsmaß . Es seien eine Meßfunktion, der Ordnungsparameter, die Zeitverschiebung und für

mit eine zum Orbit mit gemessene Zeitreihe der Ordnung m +1 in vorauseilenden Koordinaten. Für Vektoren x_i und x_j wird ihr Abstand durch definiert. Bezeichnet N >m eine natürliche Zahl und eine reelle Zahl, so heißt der Ausdruck

(diskretes) Korrelationsintegral (bzgl. m und ). Falls die Größe existiert, liefert diese eine Schätzung der Korrelationsdimension . Für ist dies nach dem Satz von TAKENS generisch der Fall, falls ist, bzw. nach dem Satz von SAUER, YORKE, CASDAGLI prävalent, falls ist und verzögerte Koordinaten benutzt werden.

Beispiel

Das Lorenz-System gehört zu , wobei beispielsweise , gewählt werden kann. Offenbar ist der LORENZ-Attraktor (bei ) in U enthalten. Der Satz von DOUADY-OESTERLÉ (s. Satz von Douady und Oesterlé) ergibt die Schranke . Numerische Integration mit der Box-Counting-Methode liefert . Die Abschätzung der Korrelationsdimension des natürlichen Maßes nach der Einbettungsmethode mit Zeitreihen in verzögerten Koordinaten () ergibt für den LORENZ-Attraktor (GRASSBERGER in [17.12]).