Abspaltung eines Torus

Gegeben sei (17.61) mit und . Für alle nahe 0 habe (17.61) einen periodischen Orbit . Die Multiplikatoren von seien mit mit und .

Nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit ergibt sich in der vorliegenden Situation eine zweidimensionale reduzierte C⁶-Abbildung

mit für nahe .

Hat die JACOBI-Matrix für alle nahe 0 die konjugiert komplexen Eigenwerte und mit , ist und ist für q = 1,2,3,4 keine q-te Wurzel aus , so läßt sich (17.69) durch eine glatte -abhängige Koordinatentransformation auf die Form bringen ( LANDAU-Symbol), wobei in Polarkoordinaten durch

gegeben ist. Dabei sind und b differenzierbare Funktionen. Sei . Dann ist die Ruhelage r = 0 von (17.80) für alle asymptotisch stabil und für instabil. Außerdem existiert bei der Kreis , der invariant unter der Abbildung (17.80) und asymptotisch stabil ist (s. linke Abbildung).

Satz von Neimark und Sacker:  Der Satz von NEIMARK und SACKER (s. [17.18], [17.3]) sagt aus, daß das Bifurkationsverhalten von (17.80) auch auf zutrifft (superkritische HOPF-Bifurkation für Abbildungen).

Beispiel

In der Abbildung (17.79), gegeben durch

findet bei eine superkritische HOPF-Bifurkation statt.

Bezogen auf die Differentialgleichung (17.61) bedeutet die Existenz einer geschlossenen invarianten Kurve der Abbildung (17.79), daß bei a(0) < 0 der periodische Orbit instabil wird und sich bei ein bezüglich (17.61) invarianter stabiler Torus abspaltet (s. Abbildung).