Berechnung der Lyapunov-Exponenten

Die Formel , wobei wieder als Halbachsenlängen eines aus der Einheitskugel mit Mittelpunkt x durch Deformation mit hervorgegangenen Ellipsoids interpretiert werden können, kann zur Berechnung der LYAPUNOV-Exponenten benutzt werden, wenn außerdem noch Reorthonormalisierungsverfahren, wie das von HOUSHOLDER, herangezogen werden. Die Funktion ist Lösung der zum Semiorbit des Flusses gehörigen Variationsgleichung mit Anfang v zur Zeit . In der Tat, ist der Fluß von (17.1), so lautet die Variationsgleichung . Die Lösung dieser Gleichung mit Anfang v zur Zeit t = 0 ist darstellbar als , wobei die bei t = 0 normierte Fundamentalmatrix der Variationsgleichung ist, die, nach dem Satz über die Differenzierbarkeit nach den Anfangszuständen, Lösung der Matrix-Differentialgleichung mit Anfang Z(0) = E_n ist.
Die Zahl beschreibt das Verhalten der Orbits , mit Anfang bezüglich des Ausgangsorbits in der Richtung . Ist , so heißt dies, daß in Richtung v für wachsende t eine Annäherung der Orbits stattfindet; ist dagegen , so entfernen sich die Orbits (s. Abbildung).

Für die Summe aller LYAPUNOV-Exponenten von mit dem Attraktor und dem dort konzentrierten invarianten Maß gilt für -fast alle im Falle eines Flusses von (17.1)

und für ein zeitdiskretes System (17.3)

In dissipativen Systemen gilt also . Dies, zusammen mit der Tatsache, daß für Flüsse einer der LYAPUNOV-Exponenten Null ist, falls der Attraktor keine Ruhelage ist, gestattet Vereinfachungen bei der Berechnung der LYAPUNOV-Exponenten (s. [17.16]).

Beispiel A

Sei x₀ eine Ruhelage des Flusses von (17.1) und seien die Eigenwerte der JACOBI-Matrix in . Mit dem in x₀ konzentrierten Maß gilt für die LYAPUNOV-Exponenten .

Beispiel B

Sei ein T-periodischer Orbit von (17.1), und es seien die Multiplikatoren von . Mit dem in konzentrierten Maß gilt