Definition der Funktion

1. Funktion:
Wenn x und y zwei variable Größen sind und wenn sich einem gegebenen x-Wert genau ein y-Wert zuordnen läßt, dann nennt man y eine Funktion von x und schreibt
(2.1)

Die veränderliche Größe x heißt unabhängige Variable oder Argument der Funktion y. Alle x-Werte, denen sich y-Werte zuordnen lassen, bilden den Definitionsbereich D der Funktion f(x). Die veränderliche Größe y heißt abhängige Variable; alle y-Werte bilden den Wertebereich W der Funktion f(x). Funktionen können graphisch durch Punkte (x,y) als Kurven oder Funktionsgraphen dargestellt werden.

2. Reelle Funktion:
Wenn Definitions- und Wertebereich nur reelle Zahlen enthalten, dann nennt man y=f(x) eine reelle Funktion einer reellen Veränderlichen.
Beispiel A

y=x2 mit

Beispiel B

mit

3. Funktion von mehreren Veränderlichen:
Hängt die Variable y von mehreren unabhängigen Variablen ab, dann bezeichnet man
(2.2)

als Funktion von mehreren Veränderlichen.

4. Komplexe Funktion:
Wenn die unabhängige Variable eine komplexe Zahl z ist, dann wird durch w=f(z) eine komplexe Funktion einer komplexen Veränderlichen beschrieben, zu deren Behandlung die Funktionentheorie benötigt wird. Zu den komplexen Funktionen gehören auch die komplexwertigen Funktionen, die für reelle Argumente x definiert sind, aber komplexe Funktionswerte besitzen.
5. Weitere Funktionen:
In verschiedenen Anwendungsgebieten, z.B. in der Vektoranalysis und Feldtheorie, werden Funktionen verwendet, bei denen Argument- und Funktionswerte beispielsweise wie folgt definiert sind:
6. Funktionale:
Wird jeder Funktion x=x(t) aus einer bestimmten Funktionenklasse eine reelle Zahl zugeordnet, dann spricht man von einem Funktional.
Beispiel A

Ist x(t) eine gebene, über [a,b] integrierbare Funktion, dann ist ein lineares Funktional bezüglich aller über [a,b] stetigen Funktionen x.
Beispiel B

Integralausdrücke bei Variationsaufgaben.
7. Funktion und Abbildung:
Gegeben sind zwei nichtleere Menge X und . Unter einer Abbildung, die durch
(2.3)

beschrieben wird, versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x von X ein eindeutig bestimmtes Element y von Y zuordnet. Das Element y heißt Bild von , und man schreibt auch . Die Menge Y heißt Bildbereich oder Wertebereich von , die Menge X heißt Originalbreich, Urbildbereich oder Definitionsbreich von .

Beispiel A

Sind Original- und Bildbereich Teilmengen der reellen Zahlen, d.h. gilt und , dann wird durch (2.3) eine reelle Funktion y=f(x) einer reellen Veränderlichen x beschrieben.
Beispiel B

Ist f eine Matrix vom Typ (m,n) und gilt sowie , dann wird durch (2.3) eine Abbildung des in den beschrieben. Die Vorschrift (2.3) stellt dann das folgende System von m linearen Gleichungen dar:


d.h. bedeutet das Produkt der Matrix mit dem Vektor .

Hinweise: