Koordinatentransformationen

Analog zur zweidimensionalen Situation hat eine Transformation des Koordinatensystems hinsichtlich der Koordinatendarstellung eines Punktes die gleiche Wirkung wie die inverse geometrische Transformation des Punktes (s. Koordinatentransformation). Für die Transformationsmatrizen gilt also:

In der Praxis ist häufig der Spezialfall einer Transformation von einem rechtshändigen kartesischen Bezugskoordinatensystem in ein anderes kartesisches Koordinatensystem anzutreffen. Das Bezugssystem wird dabei oft als Weltkoordinatensystem und das andere als lokales Koordinatensystem oder objektbezogenes Koordinatensystem bezeichnet. Wenn der Ursprung des lokalen Systems U(x_u,y_u,z_u) und dessen Koordinateneinheitsvektoren , und in Weltkoordinaten angegeben sind, lauten die Transformationsmatrizen zur Abbildung vom Objektsystem in das Weltkoordinatensystem und für die Umkehrtransformation

Für einen Punkt , der im Objektsystem die Koordinaten und im Weltkoordinatensystem die Koordinaten hat, gilt:

Sind mit und die Transformationsmatrizen für die Abbildung zweier lokaler Systeme ins Weltkoordinatensystem gegeben, dann wird die Transformation zwischen beiden lokalen Systemen beschrieben durch die Matrizen

Beispiel Ermittlung der Transformationsmatrix

Ermittlung der Transformationsmatrix für eine Rotation um den Winkel um eine durch die Punkte und Q(x_q,y_q,z_q) verlaufende Raumachse mit dem Richtungsvektor . P und Q können so gewählt werden, daß ein Einheitsvektor ist.

Zunächst wird eine Abbildung der Raumachse in die z-Achse des Koordinatensystems vorgenommen. Anschließend erfolgt eine Rotation um den Winkel um die z-Achse. Daran schließt sich die Rücktransformation der Raumachse in ihre ursprüngliche Lage an. Die Transformation zur Ausrichtung der Raumachse an der z-Achse ist in der folgenden Abb. veranschaulicht.

Sie setzt sich zusammen aus:

1. Verschiebung von Q in den Ursprung: .
2. Rotation um die z-Achse, so daß die Rotationsachse in die y,z-Ebene abgebildet wird:
   mit und .
   Der Punkt P₂ besitzt die Koordinaten .
   
3. Rotation um den Winkel um die x-Achse, bis das Bild des Richtungsvektors auf der z-Achse liegt:
   mit und .
   Der Punkt P₃ besitzt die Koordinaten .

Die Transformationsmatrix für die Ausrichtung an der z-Achse lautet mit und :

Ein Vergleich von und mit den Matrizen (3.482) und (3.483) zeigt, daß die Ausrichtungstransformation identisch mit einer Koordinatentransformation aus dem Weltkoordinatensystem in ein objektbezogenes Koordinatensystem mit dem Ursprung Q und der z-Richtung ist. Im Objektsystem erfolgt schließlich die Rotation um die z-Achse. Die Transformationsmatrix der gesamten Rotation lautet mit Matrix (3.475)

In Abschnitt Quaternionen wird eine alternative Methode zur Beschreibung von Rotationstransformationen unter Ausnutzung der Eigenschaften von Quaternionen angegeben.