Konstruktion der Greenschen Funktion (Kreis)

Konstruktion der Greenschen Funktion für das Dirichletsche Problem der
LAPLACEschen Differentialgleichung

für den Fall, daß das betrachtete Gebiet ein Kreis ist (s. Abbildung).

Die GREENsche Funktion lautet

wobei und R der Radius des betrachteten Kreises ist. Die Punkte M und M₁ liegen in bezug auf den Kreis symmetrisch, d.h., beide Punkte liegen auf demselben Radiusstrahl, und es gilt

Mit der angegebenen Formel (9.106e) zur Lösung des DIRICHLETschen Problems ergibt sich nach Einsetzen der Normalenableitung der GREENschen Funktion und einigen Umformungen das POISSONsche Integral

Die Bezeichnungen sind die gleichen wie oben. Mit werden die auf dem Kreisrand vorgegebenen Werte von u beschrieben. Für die Koordinaten des Punktes gilt: .