Gebundene Zustände

ist eine Eigenfunktion zum Operator L(t =0) mit dem negativen reellen Eigenwert , :

Die Funktion ist die Eigenfunktion zum Operator zu einem späteren Zeitpunkt mit dem gleichen Eigenwert :

Der Eigenwert hängt also nicht von der Zeit ab. Jedem gebundenen Zustand entspricht ein zeitunabhängiger Eigenwert. Dieser Eigenwert ist ein Funktional des Potentials im Operator L(t). Somit sind die Eigenwerte Konstanten der Bewegung.
Nun kann eine partielle Differentialgleichung für die Zeitentwicklung der gebundenen Zustände gegeben werden. Differentiation von nach der Zeit ergibt , oder

Beispiel Korteweg-de-Vries-Gleichung

Für die KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung [9.42], [9.42] wird eine Lösung angenommen, die für verschwindet. Dann können die Operatoren B (9.198) und L (9.197) dargestellt werden als und , weil und für verschwinden. Die Ortsabhängigkeit für |x| groß folgt aus

als oder als . Wenn die Normierbarkeit gefordert wird, dann muß die Funktion exponentiell abfallen als für und als für .

Die Zeitabhängigkeit für c_n⁺(t) bei folgt mit (9.206)

als , also

Die Funktion steigt exponentiell in der Zeit an. Ähnlich folgt für . Hier fällt die Funktion exponentiell in der Zeit ab.