Gestreute Wellen

Neben den gebundenen Lösungen existieren auch Eigenzustände mit positiven Eigenwerten . Für einen SCHRÖDINGER-Operator (9.197) mit einem lokalisierten Potential für kann das asymptotische Verhalten der Eigenzustände berechnet werden. Weil das Potential hier verschwindet, lautet die SCHRÖDINGER-Gleichung

Diese Gleichung wird allgemein gelöst durch die Wellen

Die zeitliche Evolution von a(k,t) kann wieder aus (9.206) berechnet werden. Um eine Information über das Streupotential zu erhalten, werden die Randbedingungen eingeschränkt auf eine einfallende und eine reflektierte Welle für

und eine transmittierte Welle für

ist der Reflexionskoeffizient und ist der Transmissionskoeffizient.

Beispiel Korteweg-de-Vries-Gleichung

Für die Korteweg-de-Vries-Gleichung folgt für die Lösungen von (9.197) und (9.206)

und

Der Reflexionskoeffizient ergibt sich aus dem Phasenverhältnis für als