Rücktransformation

Die Streudaten c(t), und enthalten bereits die Information über die Lösung der nichtlinearen partiellen Differentialgleichung (9.195). Die Lösung kann mit Hilfe der GELFAND-LEVITAN-MARCHENKO-Gleichung

aus den Streudaten zur Zeit t berechnet werden. Diese Integralgleichung ist linear in . Dabei gehen der Reflexionskoeffizient und die Koeffizienten der gebundenen Zustände c_n⁺(t) in

ein. Die Lösung folgt aus

Beispiel Korteweg-De-Vries-Gleichung

Als einfachster Fall wird für die KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung eine Lösung angenommen, die nur einen gebundenen Zustand mit einem Eigenwert besitzt. Dieses Potential soll die besondere Eigenschaft besitzen, dass der Reflexionskoeffizient verschwindet .

Die GELFAND-LEVITAN-MARCHENKO-Gleichung lautet dann

Differenziert man (9.210) nach y, so ergibt sich . Die Lösung von (9.210) muß deshalb die Form

haben. Damit läßt sich das Integral in (9.210) explizit ausführen. Auflösen nach G ergibt

und mit (9.209)

. Mit und ist das die Einsolitonenlösung der KdV-Gleichung.

In der gleichen Weise lassen sich kompliziertere Lösungen konstruieren. Zum Beispiel ergibt sich die Zweisolitonenlösung aus einem reflexionsfreien Potential mit zwei gebundenen Zuständen.