Methode von Ablowitz, Kaup, Newell und Segur (AKNS)

Das Auffinden eines LAX-Paares ist eine wesentliche Schwierigkeit bei der Anwendung der Inversen Streumethode. Die AKNS-Methode [9.32] erlaubt das Auffinden von LAX-Paaren für mehrere wichtige partielle Differentialgleichungen [9.33].

Als Ansatz werden allgemeine Operatoren

und

eingeführt. q(x,t), r(x,t) und a(x,t,E), b(x,t,E), c(x,t,E) sind zunächst noch nicht festgelegte Funktionen. E ist der zeitunabhängige Eigenwet des LAX-Operators

Der Eigenvektor folgt der Evolutionsgleichung

Die Funktionen a,b,c,q,r lassen sich nicht völlig frei wählen, sondern unterliegen Konsistenzbedingungen: Differenziert man (9.212) nach t und (9.213) nach x, so folgt als Konsistenzbedingung der gemischten Ableitungen

Weitere Einschränkungen dieser Funktionen legen die betreffende partielle Differentialgleichung fest.

Beispiel A Korteweg-de-Vries-Gleichung

Die Wahl

a =4E²+2qrE+irq_x-iqr_x

liefert die Bedingungen (9.216) die Gleichungen

Die zusätzliche Einschränkung r=-1 liefert die KdV-Gleichung.

Beispiel B Sinus-Gordon-Gleichung

Die Wahl und liefert die SINUS-GORDON-Gleichung in der Form (s. BÄCKLUND-Transformation). Ersetzt man durch sinh, so erhält man die sinh-GORDON-Gleichung.

Beispiel C Nichtlineare Schrödinger-Gleichung

Die Wahl a =2E²+rq liefert

Mit r =q^* führt das auf die nichtlineare SCHRÖDINGER-Gleichung.