Extrapolationsprinzip

Das ROMBERG-Verfahren stellt eine Anwendung des sogenannten Extrapolationsprinzips dar. Es soll an der Herleitung der Formel (19.87) für den Fall k=1 demonstriert werden. Mit I werde das gesuchte Integral, mit T(h) die zugehörige Trapezsumme (19.76) bezeichnet. Ist der Integrand von I im Integrationsintervall (2m+2)-mal stetig differenzierbar, dann läßt sich zeigen, daß für den Quadraturformelfehler R der Trapezsumme eine asymptotische Entwicklung bezüglich h der Form

(19.89a)

oder

(19.89b)

gilt. Die Koeffizienten sind von h unabhängige Konstanten.
Man bildet T(h) und gemäß (19.89b) und betrachtet die Linearkombination

T1(h) =  
  = (19.90)


Setzt man und , dann hat T1(h) die Fehlerordnung 4, während T(h) und T(h/2) beide nur die Fehlerordnung 2 haben. Es ergibt sich

(19.91)

Das ist die Formel (19.87) für . Fortgesetzte Wiederholung des eben beschriebenen Vorgehens führt auf die Näherung Tki gemäß (19.87), und es gilt

(19.92)
Beispiel

Für das bestimmte Integral (Integralsinus), das sich nicht elementar integrieren läßt, sind Näherungswerte zu ermitteln (8stellige Rechnung).

1. Romberg-Verfahren:

Für k=3 liefert das ROMBERG-Verfahren den Näherungwert 0,94608307. Der auf 10 Stellen genaue Wert lautet 0,9460830704. Die Größenordnung des Fehlers gemäß (19.92) wird bestätigt.

2. Trapez- und Simpson-Formel:
Aus dem Schema zum ROMBERG-Verfahren liest man unmittelbar ab, daß für h3=1/8 die Trapezformel den Näherungswert 0,94569086 und die SIMPSON-Formel den Wert 0,94608331 ergibt.
Die Verbesserung der Trapezformel nach HERMITE gemäß (19.77) liefert
.
3. Gauß-Formel:
Nach Formel (19.83) erhält man für


Man sieht, daß die GAUSS-Formel im Fall , d.h. mit nur 4 Funktionswerten, einen auf 8 Dezimalen genauen Näherungswert liefert. Diese Genauigkeit würde mit der Trapezsumme erst mit einer sehr hohen Zahl (> 1000) von Funktionswerten erreicht.

Hinweise:

  1. Zusammengesetzte Quadraturformeln werden üblicherweise rekursiv mit adaptiver Gittersteuerung realisiert. Zur Schrittweitensteuerung steht beim ROMBERG-Verfahren eine geeignete Fehlerschätzung zur Verfügung (s. RUNGE-KUTTA-Verfahren).
  2. Eigenständige Bedeutung hat die Integration periodischer Funktionen im Zusammenhang mit der FOURIER-Analyse erlangt. Ihre numerische Realisierung findet man unter dem Stichwort Harmonische Analyse, die auf dem Rechner mit Hilfe der sogenannten
    Schnellen FOURIER-Transformation FFT (Fast FOURIER Transformation) durchgeführt wird.
  3. In vielen Fällen ist es zweckmäßig, bei der numerischen Integration spezielle Eigenschaften des Integranden auszunutzen. Auf diese Weise sind neben den oben vorgestellten Quadraturformeln noch viele andere entwickelt worden, und die Literatur zu Fragen der Konvergenz, der Abschätzung des Quadraturformelfehlers oder zur Konstruktion optimaler Quadraturformeln ist sehr umfangreich (s. [19.7]).
  4. Zur numerischen Integration mehrfacher Integrale muß auf die Literatur verwiesen werden (s. [19.34]).