Lösung der Polargleichung

Die Polargleichung (9.143g), die beide Separationskonstanten l(l + 1) und m² enthält, ist eine LEGENDREsche Differentialgleichung. Ihre Lösung wird mit bezeichnet und kann durch einen Potenzreihenansatz ermittelt werden. Endliche, eindeutige und stetige Lösungen ergeben sich nur für . Daher gilt für l und m:

Somit kann m insgesamt die (2l + 1) Werte

durchlaufen.
Für ergeben sich die zugeordneten LEGENDREschen Polynome, die wie folgt definiert sind:

Als Spezialfall ()erhält man die LEGENDREschen Polynome 1. Art (9.57b) (s. auch Tabelle LEGENDREsche Polynome 1. Art). Die Normierung führt auf