Inhaltsseiten:   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16  Dynamische Systeme  18 19 20 21 22 23 24 25

• Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen
  • Dynamische Systeme
    • Grundbegriffe
      • Typen dynamischer Systeme, Orbits
      • Fluß einer Differentialgleichung
      • Zeitdiskrete dynamische Systeme
      • Volumenschrumpfende und volumenerhaltende Systeme
    • Invariante Mengen
      • Alpha- und Omega-Grenzmenge, absorbierende Menge
      • Stabilität von invarianten Mengen
      • Kompakte Mengen
      • Attraktor, Einzugsgebiet
  • Qualitative Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
    • Existenz des Flusses und Phasenraumstruktur
      • Fortsetzbarkeit der Lösungen
      • Phasenporträt
      • Satz von Liouville
    • Lineare Differentialgleichungen
      • Hauptsätze
      • Autonome lineare Differentialgleichungen
      • Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten
    • Stabilitätstheorie
      • Lyapunov-Stabilität und orbitale Stabilität
      • Satz von Lyapunov über asymptotische Stabilität
      • Klassifizierung und Stabilität der Ruhelagen
      • Stabilität periodischer Orbits
      • Klassifizierung periodischer Orbits
      • Eigenschaften von Grenzmengen, Grenzzyklen
      • m-dimensionale eingebettete Tori als invariante Mengen
    • Invariante Mannigfaltigkeiten
      • Definition, Separatrixflächen
      • Satz von Hadamard und Perron
      • Lokale Phasenporträts nahe Ruhelagen für n=3
      • Homokline und heterokline Orbits
    • Poincaré-Abbildung
      • Poincaré-Abbildung für autonome Differentialgleichungen
      • Poincaré-Abbildung für nichtautonome zeitperiodische Differentialgleichungen
    • Topologische Äquivalenz von Differentialgleichungen
      • Definition der topologischen Äquivalenz
      • Satz von Grobman und Hartman
  • Zeitdiskrete dynamische Systeme
    • Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen
      • Typen der Ruhelagen
      • Periodische Orbits
      • Eigenschaften der Omega-Grenzmenge
    • Invariante Mannigfaltigkeiten
      • Stabile und instabile Mannigfaltigkeit, Separatrixflächen
      • Satz von Hadamard und Perron für zeitdiskrete Systeme
      • Transversale homokline Punkte
    • Topologische Konjugiertheit von diskreten Systemen
      • Definition der topologischen Konjugiertheit
      • Satz von Grobman und Hartman
  • Strukturelle Stabilität (Robustheit)
    • Strukturstabile Differentialgleichungen
      • Definition der strukturellen Stabilität
      • Strukturstabile Systeme in der Ebene
    • Strukturstabile zeitdiskrete Systeme
    • Generische Eigenschaften
      • Definition der generischen Eigenschaft
      • Generische Eigenschaften von ebenen Systemen, Hamilton-Systeme
      • Nichtwandernde Punkte, Morse-Smale-Systeme
  
  
• Quantitative Beschreibung von Attraktoren
  • Wahrscheinlichkeitsmaße auf Attraktoren
    • Invariantes Maß
      • Definition, auf dem Attraktor konzentrierte Maße
      • Natürliches Maß
    • Elemente der Ergodentheorie
      • Ergodische dynamische Systeme
      • Physikalische oder SBR-Maße
      • Mischende dynamische Systeme
      • Autokorrelationsfunktion
      • Leistungsspektrum
  • Entropien
    • Topologische Entropie
    • Metrische Entropie
  • Lyapunov-Exponenten
    • Singulärwerte einer Matrix
    • Definition der Lyapunov-Exponenten
    • Berechnung der Lyapunov-Exponenten
    • Metrische Entropie und Lyapunov-Exponenten
  • Dimensionen
    • Metrische Dimensionen
      • Fraktale
      • Hausdorff-Dimension
      • Kapazitätsdimension
      • Selbstähnlichkeit
    • Auf invariante Maße zurückgehende Dimensionen
      • Dimension eines Maßes
      • Informationsdimension
      • Korrelationsdimension
      • Verallgemeinerte Dimension
      • Lyapunov-Dimension
    • Lokale Hausdorff-Dimension nach Douady-Oesterlé
    • Beispiele von Attraktoren
      • Hufeisen-Abbildung
      • Dissipative Bäcker-Abbildung
      • Solenoid oder Solenoid-Attraktor
  • Seltsame Attraktoren und Chaos
    • Chaotischer Attraktor
    • Fraktale und seltsame Attraktoren
    • Chaotisches System nach Devaney
  • Chaos in eindimensionalen Abbildungen
  • Rekonstruktion der Dynamik aus Zeitreihen
    • Grundlagen, Rekonstruktionen mit generischen Eigenschaften
      • Meßfunktion, Zeitreihe
      • Immersion, Einbettung, Satz von Whitney
      • Rekonstruktionssatz von Takens, Satz von Kupka und Smale
      • Dynamik im Rekonstruktionsraum
    • Rekonstruktionen mit prävalenten Eigenschaften
      • Prävalenz als metrische Variante der Generizität
      • Rekonstruktionssatz von Sauer, Yorke und Casdagli
      • Abschätzung der Korrelationsdimension
  
  
• Bifurkationstheorie, Wege zum Chaos
  • Bifurkationen in Morse-Smale-Systemen
    • Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen
      • Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Differentialgleichungen
      • Sattelknoten-Bifurkation und transkritische Bifurkation
      • Hopf-Bifurkation
      • Bifurkationen in zweiparametrigen Differentialgleichungen
        • Spitzen-Bifurkation
        • Bogdanov-Takens-Bifurkation
        • Verallgemeinerte Hopf-Bifurkation
      • Symmetriebrechung
    • Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit
      • Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Abbildungen
      • Bifurkation eines zweifach zusammengesetzten semistabilen periodischen Orbits
      • Periodenverdopplung oder Flip-Bifurkation
      • Abspaltung eines Torus
    • Globale Bifurkationen
      • Entstehung eines periodischen Orbits durch Verschwinden eines Sattelknotens
      • Auflösung einer Sattel-Sattel-Separatrix in der Ebene
  • Übergänge zum Chaos
    • Kaskade von Periodenverdopplungen
    • Intermittenz
    • Globale homokline Bifurkationen
      • Satz von Smale
      • Satz von Shilnikov
      • Melnikov-Methode
    • Auflösung eines Torus
      • Vom Torus zum Chaos
        • Hopf-Landau-Modell der Turbulenz
        • Ruelle-Takens-Newhouse-Szenario
        • Satz über den Glattheitsverlust und die Zerstörung eines Torus (T-Quadrat)
      • Abbildungen auf dem Einheitskreis und Rotationszahl
        • Äquivalente und geliftete Abbildung
        • Rotationszahl
      • Differentialgleichungen auf dem Torus (T-Quadrat)
      • Standardform einer Kreisabbildung
        • Standardform
        • Teufelstreppe und Arnold-Zunge
        • Goldenes Mittel, Fibonacci-Zahlen