Inhaltsseiten:   1 2 3 4 5 6 7 8  Differentialgleichungen  10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

• Gewöhnliche Differentialgleichungen
  • Anfangswertaufgabe
  • Randwertaufgabe
  • Differentialgleichungen 1. Ordnung
    • Existenzsatz, Richtungsfeld
      • Existenz einer Lösung, Lipschitz-Bedingung
      • Richtungsfeld, Vertikale Richtungen
      • Allgemeines Integral
    • Wichtige Integrationsmethoden
      • Trennung der Variablen
      • Homogene Gleichungen oder Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen
      • Exakte Differentialgleichung
      • Integrierender Faktor
      • Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
      • Bernoullische Differentialgleichung
      • Riccatische Differentialgleichung
    • Implizite Differentialgleichungen
      • Lösung in Parameterform
      • Lagrangesche Differentialgleichung
      • Clairautsche Differentialgleichung
    • Singuläre Integrale und singuläre Punkte
      • Singuläres Element und singuläres Integral
      • Bestimmung singulärer Integrale
      • Singuläre Punkte einer Differentialgleichung
        • Differentialgleichung mit gebrochenlinearem Quotienten auf der rechten Seite
        • Differentialgleichung mit Quotienten aus zwei beliebigen Funktionen auf der rechten Seite
    • Näherungsmethoden zur Integration von Differentialgleichungen 1. Ordnung
      • Methode der sukzessivem Approximation nach Picard
      • Integration durch Reihenentwicklung
      • Graphische Integration von Differentialgleichungen
      • Numerische Integration von Differentialgleichungen
  • Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen
    • Grundlegende Betrachtungen
      • Existenz einer Lösung
        • Zurückführung auf ein System von Differentialgleichungen:
        • Existenz eines Lösungssystems:
        • Lipschitz-Bedingung:
      • Allgemeine Lösung
    • Erniedrigung der Ordnung
      • Fall 1
      • Fall 2
      • Fall 3
      • Fall 4
    • Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
      • Klassifizierungen
      • Fundamentalsystem von Lösungen
      • Erniedrigung der Ordnung
      • Superpositionssatz
      • Zerlegungssatz
      • Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mittels Quadraturen
        • Methode der Variation der Konstanten
        • Methode von Cauchy
    • Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
      • Operatorenschreibweise
      • Lösungen der homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
      • Satz von Hurwitz
      • Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
        • 1. Fall
        • 2. Fall
        • Eulersche Differentialgleichung:
    • Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
      • Normalform
      • Homogene Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
      • Inhomogene Systeme linearer Differerentialgleichungen 1. Ordnung
      • Systeme von Differentialgleichungen 2. Ordnung
    • Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
      • Allgemeine Methoden
      • Besselsche Differentialgleichung
        • Definierende Gleichung:
        • Bessel- oder Zylinderfunktionen:
        • Bessel-Funktionen mit imaginären Variablen:
        • Formeln für Bessel-Funktionen vom Typ J_n(x):
        • Wichtige Formeln für die sphärischen Bessel-Funktionen:
      • Legendresche Differentialgleichung
        • Legendresche Polynome oder Kugelfunktionen 1. Art
        • Eigenschaften der Legendreschen Polynome 1. Art
        • Legendresche Funktionen oder Kugelfunktionen 2. Art
      • Hypergeometrische Differentialgleichung
      • Laguerresche Differentialgleichung
      • Hermitesche Differentialgleichung
  • Randwertprobleme
    • Problemstellung
      • Begriff des Randwertproblems
      • Selbstadjungierte Differentialgleichung
      • Sturm-Liouvillesches Problem
    • Haupteigenschaften der Eigenfunktionen und Eigenwerte
    • Entwicklung nach Eigenfunktionen
      • Nichtsinguläre Fälle
      • Singuläre Fälle
  
  
• Partielle Differentialgleichungen
  • Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
    • Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
      • Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen
      • Integration der homogenen partiellen linearen Differentialgleichung
      • Integration der inhomogenen linearen und der quasilinearen partiellen Differentialgleichung
      • Geometrische Darstellung und Charakteristiken des Systems
      • Cauchysches Problem
    • Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
      • Allgemeine Form der partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung
      • Kanonische Systeme von Differentialgleichungen
      • Clairautsche Differentialgleichung
      • Differentialgleichungen 1. Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
      • Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung in vollständigen Differentialen
  • Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
    • Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2. Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
      • Allgemeine Form
      • Charakteristiken
      • Normalform oder kanonische Form
      • Verallgemeinerung
    • Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2. Ordnung mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen
      • Allgemeine Form
      • Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
    • Integrationsmethoden für lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
      • Methode der Variablentrennung
      • Beispiel Saitenschwingungsgleichung
      • Beispiel Stabschwingungsgleichung
      • Beispiel Membranschwingungsgleichung
      • Beispiel Dirichletsches Problem
      • Beispiel Wärmeleitungsgleichung
      • Riemannsche Methode zur Lösung des Cauchyschen Problems der hyperbolischen Differentialgleichung
      • Beispiel Telegraphengleichung
      • Greensche Methode zur Lösung von Randwertproblemen für elliptische Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Variablen
      • Greensche Methode zur Lösung von Randwertproblemen mit drei unabhängigen Variablen
      • Vergleich der Riemannschen und der Greenschen Methode
      • Konstruktion der Greenschen Funktion (Kreis)
      • Konstruktion der Greenschen Funktion (Kugel)
      • Operatorenmethoden
      • Näherungsmethoden
  • Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaft und Technik
    • Problemstellungen und Randbedingungen
      • Problemstellungen
      • Anfangs- und Randbedingungen
      • Inhomogene Bedingungen und inhomogene Differentialgleichungen
    • Wellengleichung
      • Homogenes Problem
      • Inhomogenes Problem
    • Wärmeleitungs- und Diffusionsgleichung für ein homogenes Medium
      • Dreidimensionale Wärmeleitungsgleichung
      • Dreidimensionale Diffusionsgleichung
    • Potentialgleichung
  • Schrödinger-Gleichung
    • Begriff der Schrödinger-Gleichung
      • Bestimmung und Abhängigkeiten
      • Besonderheiten
      • Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
      • Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
    • Statistische Interpretation der Wellenfunktion
      • Observable und Wahrscheinlichkeitsamplituden
      • Erwartungswert und Unschärfe
      • Unschärferelation
    • Kräftefreie Bewegung eines Teilchens in einem Quader
      • Problemstellung
      • Lösungsansatz
      • Lösungen
      • Spezialfall Würfel, Entartung
    • Teilchenbewegung im radialsymmetrischen Zentralfeld
      • Problemstellung
      • Lösungsansätze
      • Lösung der Radialgleichung
      • Lösung der Polargleichung
      • Lösung der Azimutalgleichung
      • Gesamtlösung für die Winkelabhängigkeit
      • Parität:
    • Linearer harmonischer Oszillator
      • Problemstellung
      • Lösungsansatz und Lösungsgang
      • Physikalische Lösungen
  • Nichtlineare partielle Differentialgleichungen: Solitonen, periodische Muster und Chaos
    • Physikalisch-mathematische Problemstellung
      • Begriff des Solitons
      • Wechselwirkung zwischen Solitonen
      • Periodische Muster und nichtlineare Wellen
      • Dissipative Solitonen
      • Nichtlineare Evolutionsgleichungen
    • Korteweg-de-Vries-Gleichung
      • Auftreten
      • Gleichung und Lösungen
    • Nichtlineare Schrödinger-Gleichung
      • Auftreten
      • Gleichung und Lösungen
    • Sinus-Gordon-Gleichung
      • Auftreten
      • Gleichung und Lösungen
    • Weitere nichtlineare Evolutionsgleichungen mit Solitonlösungen
    • Generalisierte Ginsburg-Landau-Gleichung (GGL)
      • Auftreten
      • Gleichung und Lösungen
    • Kuramoto-Sivashinsky-Gleichung
      • Auftreten
      • Gleichung und Lösungen
    • Cahn-Hilliard-Gleichung
    • Parametrisch getriebene, gedämpfte, nichtlineare Schrödinger-Gleichung
      • Auftreten
      • Gleichung und Lösungen
  • Nichtlineare partielle Differentialgleichungen: Inverse Streutheorie
    • Fourier-Transformation zur Lösung linearer partieller Differentialgleichungen
    • Inverse Streutheorie in Analogie zur Fourier-Methode
      • Problemstellung
      • Lax-Paar
      • Streuproblem
      • Gebundene Zustände
      • Gestreute Wellen
      • Rücktransformation
      • Methode von Ablowitz, Kaup, Newell und Segur (AKNS)
      • Integrabilität der Bewegungsgleichungen
      • Hamiltonsche Struktur der Bewegungsgleichungen
      • Erhaltungsgrößen
      • Bäcklund-Transformation
      • Hirota-Methode