Inhaltsseiten:   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18  Numerische Mathematik  20 21 22 23 24 25

• Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen
  • Iterationsverfahren
    • Gewöhnliches Iterationsverfahren
    • Newton-Verfahren
    • Regula falsi
  • Lösung von Polynomgleichungen
    • Horner-Schema
      • Reelle Argumentwerte
      • Komplexe Argumentwerte
    • Lage der Nullstellen
      • Reelle Nullstellen, Sturmsche Kette
      • Komplexe Nullstellen
    • Numerische Verfahren
      • Allgemeine Verfahren
      • Spezielle Verfahren
  
  
• Numerische Lösung von Gleichungssystemen
  • Lineare Gleichungssysteme
    • Dreieckszerlegung einer Matrix
      • Prinzip des Gaußschen Eliminationsverfahrens
      • Dreieckszerlegung
      • Anwendung der Dreieckszerlegung
      • Wahl der Pivots
    • Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix
    • Orthogonalisierungsverfahren
      • Lineare Ausgleichsaufgaben
      • Orthogonalisierungsverfahren
    • Iteration in Gesamt- und Einzelschritten
      • Jacobi-Verfahren
      • Gauß-Seidel-Verfahren
      • Relaxationsverfahren
  • Nichtlineare Gleichungssysteme
    • Gewöhnliches Iterationsverfahren
    • Newton-Verfahren
    • Ableitungsfreies Gauß-Newton-Verfahren
  
  
• Numerische Integration
  • Allgemeine Quadraturformel
  • Interpolationsquadraturen
    • Rechteckformel
    • Trapezformel
    • Hermitesche Trapezformel
    • Simpson-Formel
  • Quadraturformeln vom Gauß-Typ
    • Gaußsche Quadraturformeln
    • Lobattosche Quadraturformeln
  • Verfahren von Romberg
    • Algorithmus des Romberg-Verfahrens
    • Extrapolationsprinzip
  
  
• Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen
  • Anfangswertaufgaben
    • Eulersches Polygonzugverfahren
    • Runge-Kutta-Verfahren
      • Rechenschema
      • Hinweise
    • Mehrschrittverfahren
    • Prediktor-Korrektor-Verfahren
    • Konvergenz, Konsistenz, Stabilität
      • Globaler Diskretisierungsfehler und Konvergenz
      • Lokaler Diskretisierungsfehler und Konsistenz
      • Stabilität gegenüber Störung der Anfangswerte
      • Steife Differentialgleichungen
  • Randwertaufgaben
    • Differenzenverfahren
    • Ansatzverfahren
    • Schießverfahren
  
  
• Genäherte Integration von partiellen Differentialgleichungen
  • Differenzenverfahren
  • Ansatzverfahren
    • Kollokationsmethode
    • Fehlerquadratmethode
  • Methode der finiten Elemente (FEM)
    • Aufstellung einer Variationsgleichung
    • Triangulierung
    • Ansatz
    • Berechnung der Ansatzkoeffizienten
    • Bemerkungen
  
  
• Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse
  • Polynominterpolation
    • Newtonsche Interpolationsformel
    • Interpolationsformel nach Lagrange
    • Interpolation nach Aitken-Neville
  • Approximation im Mittel
    • Stetige Aufgabe, Normalgleichungen
    • Diskrete Aufgabe, Normalgleichungen, Householder-Verfahren
      • Methode der kleinste Quadrate
      • Matrizenschreibweise
    • Mehrdimensionale Aufgaben
    • Nichtlineare Quadratmittelaufgaben
      • Prinzipieller Lösungsweg
      • Gauß-Newton-Verfahren
  • Tschebyscheff-Approximation
    • Aufgabenstellung und Alternantensatz
      • Prinzip der Tschebyscheff-Approximation
      • Eigenschaften der Tschebyscheffschen Polynome
        • 1. Darstellung:
        • 2. Nullstellen von T_n(x):
        • 3. Extremstellen von T_n(x) im Intervall [-1,1]
        • 4. Rekursionsformel:
    • Remes-Algorithmus
      • Folgerungen aus dem Alternantensatz
      • Bestimmung der Minimallösung nach Remes
    • Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Optimierung
  • Harmonische Analyse
    • Formeln zur trigonometrischen Interpolation
      • Formeln für die Fourier-Koeffizienten
      • Trigonometrische Interpolation
    • Schnelle Fourier-Transformation (FFT)
      • Numerischer Aufwand bei der Berechnung der Fourier-Koeffizienten
      • Komplexe Darstellung der Fourier-Summe
      • Numerische Berechnung der komplexen Fourier-Koeffizienten
      • Schemata zur FFT
  
  
• Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von Splines
  • Kubische Splines
    • Interpolationssplines
      • Definition der kubischen Interpolationssplines
      • Bestimmung der Spline-Koeffizienten
    • Ausgleichssplines
  • Bikubische Splines
    • Anwendung bikubischer Splines
    • Bikubische Interpolationssplines
      • Eigenschaften
      • Tensorprodukt-Ansätze
    • Bikubische Ausgleichssplines
  • Bernstein-Bézier-Darstellung von Kurven und Flächen
    • Prinzip der B-B-Kurvendarstellung
    • B-B-Flächendarstellung
  
  
• Nutzung von Computern
  • Interne Zeichendarstellung
    • Zahlensysteme
      • Bildungsgesetz
      • Konvertierung von Zahlensystemen
        • 1. Konvertierung von Dualzahlen in Oktal- bzw. Hexadezimalzahlen:
        • 2. Konvertierung von Dezimalzahlen in Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen:
        • 3. Konvertierung von Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen:
    • Interne Zahlendarstellung
      • Festpunktzahlen
      • Gleitpunktzahlen
        • Normalisierte halblogarithmische Form:
        • IEEE-Standard
  • Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern
    • Einführung, Fehlerarten
    • Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung
      • Normalisierte Dezimalzahlen
      • Grundoperationen des numerischen Rechnens
        • Addition:
        • Subtraktion:
        • Multiplikation:
        • Division:
        • Resultatfehler:
        • Vermeidung der Auslöschung:
    • Genauigkeitsfragen beim numerischen Rechnen
      • Fehlerarten
      • Eingangsfehler
      • Verfahrensfehler
      • Rundungsfehler
      • Beispiele zum numerischen Rechnen
  • Bibliotheken numerischer Verfahren
    • NAG-Bibliothek
    • IMSL-Bibliothek
    • Aachener Bibliothek
  • Anwendung interaktiver Programmsysteme und Computeralgebrasysteme
    • Matlab
      • Funktionsübersicht
      • Numerische lineare Algebra
      • Numerische Lösung von Gleichungen
      • Kurvenanpassung und Interpolation
      • Numerische Integration
      • Numerische Lösung von Differentialgleichungen
    • Mathematica
      • Hilfsmittel zur Lösung numerischer Probleme
      • Kurvenanpassung und Interpolationsverfahren
        • 1. Kurvenanpassung
        • 2. Interpolation
      • Numerische Lösung von Polynomgleichungen
      • Numerische Integration
      • Numerische Lösung von Differentialgleichungen
    • Maple
      • Numerische Berechnung von Ausdrücken und Funktionen
      • Numerische Lösung von Gleichungen
      • Numerische Integration
      • Numerische Lösung von Differentialgleichungen